Séquence 1 : Notion de fonctions

Ap math lundi

Version du professor

I) Rappel: Graphique

Un graphique est composé d’une (ou plusieurs) courbes et d’un repère orthogonal. Celui-ci est composé de :

• Deux droites perpendiculaires : une verticale et une horizontale
• D’une échelle

Exemple: Voici un repère orthogonal:

O s’appelle l’origine du repère. La droite horizontale s’appelle l’axe des abscisses. La droite verticale s’appelle l’axe des ordonnées.

Dans un graphique, on repère les points grâce à leurs coordonnées. Le point A à pour abscisse -6,5 et pour ordonnée 4. Ses coordonnées sont (-6,5 ; 4). Et on note A(-6,5 ; 4). De la même façon, on note B(-4 ; 2,5), C(0 ; 4) et D(0 ; 1).

II) Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction \(f\) est un procédé qui, à un nombre \(x\), associe un unique nombre que l'on note \(f(x)\)(lire "\(f\)de \(x\)"). On dit que \(f(x)\) est l'image de \(x\) par la fonction \(f\) et que \(x\) est un antécédent de \(f(x)\) par la fonction \(f\).

flowchart TD
    A[Antécédent: _x_] --> B(Fonction: _f_)
    B --> C(Image: _fx_)

Notation: On utilise aussi la notation \(f:x\) -> \(f(x)\) qui se lit \(f()\) de \(x\); \(f\) est la fonction qui , à \(x\) associe le nombre \(f(x)\)

Exemple:

Soit \(f\), la fonction qui, à un nombre, associe son carré. On définit ainsi une fonction, car un nombre donné n'a qu'un seul carré.

Pour cette fonction, l'image de \(3\) et \(9\) est l'image de \(-4\) est \(16\).

Remarque: Un nombre peut avoir plusieurs antécédents. Dans l'exemple précédent, l'image de \(4\) est aussi \(16\). Ce qui veut dire que \(16\) a, au moins, \(2\) antécédents: \(-4\) et \(4\)

III) Déterminer une image ou un antécédent

A) Avec une formule

\(h\) est la fonction \(h\): \(x\) -> \(x^2 - 1\) ( on peut aussi écrire \(h(x) = x^2 - 1\)).

Pour chaque nombre \(x\), on associe le nombre \(h(x)\) obtenu en appliquant le programme de calcul ci-dessous.

• Choisir un nombre.
• Elever au carré.
• Soustraire 1

On peut obtenir un tableau de valeurs:

Nombre: \(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)
Image: \(x^2 - 1\)	\(3\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)

B) Avec un tableau

Définition: Les images respectives par la fonction \(g\) de certaines valeurs de \(x\) peuvent être présentées dans un tableau appelé tableau de valeurs.

Ce tableau définit une fonction \(g\) qui, à chaque nombre \(x\) de la première ligne, associe un nombre \(g(x)\) de la deuxième ligne.

Nombre \(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
Image \(g(x)\)	\(-5\)	\(-3\)	\(0\)	\(5,2\)	\(0\)	\(7\)

C) Une courbe

Définition: La représentation graphique d'une fonction \(f\) est la courbe constituée de l'ensemble des points de cordonnées (\(x\); \(f(x)\)).

Ce graphique ci-dessous définit une fonction \(f\) qui, à chaque nombre \(x\) (lu sur l'axe des abscisses), associe un nombre \(f(x)\) (lu sur l'axe des ordonnées).

Par exemple, on peut lire que * \(f(3) = 2\) * \(1\) a trois antécédents: \(-1;0\) et \(2\). * L'image de \(-1.5\) par la fonction \(f\) est \(-0.5\)